Nacido en Madrid, Jesús Puente desarrolló su carrera de actor en todos los medios, tanto en cine como en teatro y televisión. Comenzó los estudios de Medicina, pero abandonó la carrera en el cuarto curso, debido a su vocación por la interpretación.

Inició entonces su trayectoria teatral con obras de Lope de Vega y Calderón, entremeses de Cervantes y la obra El caso de la mujer asesinadita, de Miguel Mihura. Tras estas experiencias fue contratado por el Teatro de Cámara de José Luis Alonso y más tarde por la compañía de María Jesús Valdés (La hora de la fantasía, de Anna Bonnacci, 1954; La fierecilla domada, Shakespeare, 1954;1​ Medida por medida, de Shakespeare, 1955) y con la de Conchita Montes, protagonizando la obra La otra calle. También actuó con la Compañía Dido Pequeño Teatro con la que puso en escena entre otras: Cándida (1957) de George Bernard Shaw y Fedra (1957) de Miguel de Unamuno.

Su carrera sobre las tablas ha estado plagada de éxitos, pudiendo destacarse los estrenos de Amor es Amor, El tragaluz (1967), de Antonio Buero Vallejo; Juegos de sociedad (1970), de Juan José Alonso Millán; La Fundación (1974), de nuevo de Buero Vallejo; Las cítaras colgadas de los árboles (1974), de Antonio Gala;2​ Los peces rojos (1975), de Jean Anouilh, La piel del limón (1976), de Jaime Salom,3​ Violines y trompetas (1977), El hombre del atardecer (1981) y Las tormentas no vuelven (1982), las tres de Santiago Moncada; Esta noche, gran velada (1983), de Fermín Cabal; El alcalde de Zalamea (1988), de Calderón de la Barca; Dígaselo con Valium (1993), de José Luis Alonso de Santos, o su participación, en 1988, con la Compañía Nacional de Teatro Clásico en el Festival de Teatro de Almagro, con La Celestina, y su interpretación en Las aves (2000), de Aristófanes, en el Festival de Teatro Clásico de Mérida.

Al mismo tiempo debutó en el mundo de la radio, concretamente, en Radio Nacional de España, donde trabajó con Domingo Almendros y Juan Guerrero Zamora.

A lo largo de los años 60 trabaja como actor de doblaje, llegando a poner voz en numerosas ocasiones al actor estadounidense James Stewart, entre otros. No retomaría estas actividades hasta quince años después, ya de manera esporádica.

En 1957 debutó en el cine con la película Las muchachas de azul, dirigida por Pedro Lazaga. Su filmografía incluye, como trabajos destacados, Las chicas de la Cruz Roja (1958); Ha llegado un ángel (1961), de Luis Lucia, con Marisol; Más bonita que ninguna (1965), de Luis César Amadori, con Rocío Dúrcal; La estanquera de Vallecas (1987,) de Eloy de la Iglesia; Sesión continua (1984), Asignatura aprobada (1987) y You're the one (2000) (estas tres últimas de José Luis Garci), además de numerosos spaghetti western.

Presente en televisión casi desde la llegada de este medio a España, debutó en 1957 en Televisión española. A lo largo de las tres décadas siguientes interpretaría todo tipo de obras dramáticas en espacios como Estudio 1, Novela, Primera fila o Teatro de familia. Además, en 1972 protagonizó en solitario la comedia Aventuras y desventuras de Mateo y, junto a María Luisa San José, la serie Diálogos de un matrimonio (1982).